Nghiên cứu dao động ngẫu nhiên phi tuyến bằng phương pháp tuyến tính hóa tương đương

Dao động là một trong hiện tượng xảy ra phổ biến trong tự nhiên. Nó xuất hiện trong các lĩnh vực như vật lý, hóa học, sinh học, kinh tế và kỹ thuật. Từ các lĩnh vực này, có lớp các bài toán quan trọng là dao động ngẫu nhiên phi tuyến của các hệ động lực. Ta thường bắt gặp những hệ ngẫu nhiên phi tuyến trong thực tế như dao động của các kết cấu xây dựng, nhà cao tầng hay những cây cầu dây văng chịu tác động của tải trọng gió hay kích động động đất, các công trình cảng sông, cảng biển hay những giàn khoan chịu tác động của các tải trọng sóng… hay cũng có thể là dao động của các máy trong các nhà máy xí nghiệp trong quá trình hoạt động của chúng… Ta có thể đặt vấn đề làm thế nào để tăng cường tuổi thọ và duy trì độ bền của các hệ cơ học nói trên… Nhiều mô hình toán học được đưa ra để phục vụ thực tiễn đó. Các phương trình toán học được mô tả và giải quyết dưới nhiều phương diện khác nhau. Với hệ động lực phi tuyến, người ta bắt gặp các phương trình phi tuyến yếu và các phương trình phi tuyến mạnh. Phương trình phi tuyến yếu được quan tâm nghiên cứu và phát triển với nhiều phương pháp khác nhau trong những thập kỷ gần đây. Có thể kể đến một trong những phương pháp phổ biến nhất là phương pháp tuyến tính hóa tương đương hay phương pháp tuyến tính hóa thống kê. Đây là phương pháp được đưa ra đồng thời trong những năm 50 của thế kỷ trước bởi các tác giả Booton [1], Kazakov [2], Caughey [3, 4]. Tuy nhiên ý tưởng của phương pháp này đã được nhen nhóm từ trước đó. Ban đầu phương pháp tuyến tính hóa được trình bày cho các hệ tiền định, cơ sở toán học của nó được đề cập trong [5] bởi Krylov và Bogoluboff. Đến Caughey, ông áp dụng phương pháp tuyến tính hóa cho các hệ phi tuyến chịu kích động ngẫu nhiên. Ông gọi phương pháp này là “phương pháp tuyến tính hóa tương đương”. Còn tên gọi “phương pháp tuyến tính hóa thống kê” được trình bày bởi Booton và Kazakov. Điều thú vị là phương pháp không ngừng được cải tiến và được đóng góp bởi nhiều tác giả [6-23] sao cho nó giải quyết phù hợp với từng loại bài toán khác nhau chẳng hạn các bài toán liên quan đến các không gian trạng thái, miền các tần số, không gian các hàm đặc trưng… [11]. Phương pháp dựa trên các tiêu chuẩn tuyến tính hóa để tìm ra các công thức dạng ẩn hoặc dạng hiện cho hệ số tuyến tính hóa. Hệ số này phụ thuộc vào đặc trưng đáp ứng chưa biết (như giá trị trung bình, các tương quan, các mô men bậc cao…). Tuy nhiên khi áp dụng phương pháp vào các phương trình phi tuyến mạnh thì gặp phải các sai số lớn hơn so với việc áp dụng nó vào các hệ phi tuyến yếu. Vì vậy nhu cầu cải tiến phương pháp là cần thiết cho việc giải quyết các hệ phi tuyến mạnh. Điều này là một trong những mấu chốt hình thành nhiều cải tiến mới đây [12-15]. Một trong những cải tiến đó được trình bày trong [12], trong đó các tác giả Nguyễn Đông Anh và Di Paola giải quyết bài toán cho các hệ phi tuyến bằng một phương pháp với tên gọi “phương pháp tuyến tính hóa điều chỉnh”. Phương pháp này dựa trên ý tưởng rằng thành phần phi tuyến ban đầu không được tuyến hóa trực tiếp như phương pháp tuyến tính hóa kinh điển mà nó được thay thế bằng thành phần phi tuyến có bậc cao hơn, sau đó thành phần phi tuyến này được thay thế bởi thành phần phi tuyến bậc thấp hơn cùng bậc với thành phần phi tuyến ban đầu, rồi mới thay thế thành phần phi tuyến sau cùng bởi một thành phần tuyến tính. Phương pháp này sau đó được mở rộng bởi các tác giả Elishakoff, Andrimasy, Dolley [15]. Các tác giả đó đã thực hiện điều chỉnh số bước thay thế so với cách làm như ban đầu [12]. Kết quả là đối với một số hệ phi tuyến, việc thay đổi số bước thay thế như vậy dẫn đến sai số của các đáp ứng của hệ giảm đi đáng kể. Cho đến nay phương pháp mới được áp dụng cho các hệ rời rạc, còn đối với các hệ liên tục vẫn chưa có tính toán nào được thực hiện. Do đó đây là vấn đề được đặt ra trong luận văn này. Trong luận văn này, tác giả trình bày phương pháp tuyến tính hóa điểu chỉnh cho một số hệ rời rạc và một hệ liên tục điển hình là bài toán dao động của dầm Euler-Bernoulli phi tuyến chịu kích động ngoài ngẫu nhiên.